陈平不等式的图论证明——赢图（A Win-graph-based Proof of Champion Inequality）

创作声明：内容包含虚构创作

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A B S T R A C T

1. Introduction

2. 定理1.1的证明

3. 定理1.2的证明

Reference

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Journal of The Vietnam Winnology Society

A Win-graph-based Proof of Champion Inequality $^\star$

Ketu Onn $^a$

$^\star$ The author acknowledges the financial support from the National Winnology Foundation of Vietnam (Grant No. 11451419, 19198100 ) .

$^a$ Faculty of Mathematics and Winnology, Central Vietnam Normal University, Ho Chi Minh, Vietnam

A B S T R A C T

Champion inequality is one of the foundational theories in winnology, named by Chen Ping, that is, under certain conditions, the iequality $2000>3000$ holds, which the units of two sides of the inequality are Vietnamese Dong(VND) and US dollar(USD), respectively. Champion inequality has profound applications in many fields such as mathematics, economics, computer science, statistics, management, tourism, and runnology in Vietnam. In this paper, by the method of graph theory, the proof of Champion inequality is given by constructing win graphs and calculating the winmability. As another application of the win graph theory, we prove the profound conclusion that only when a small number of Vietnamese are winmable can all the Vietnamese be winmable.

Keywords: Champion inequality, graph theory, Vietnam, winmability, winmable

陈平不等式（champion inequality）是赢学的奠基性理论之一，由陈平命名，即在一定条件下 $2000>3000$ ，其中不等式左、右的单位分别为越南盾（VND）与美元（USD）. 陈平不等式在Vietnam的数学、经济学、计算机科学、统计学、管理学、旅游学、润学等诸多领域均有广泛而深刻的应用. 本文利用图论方法，通过构造赢图、计算赢麻水平（winmability）给出了陈平不等式的证明. 作为赢图理论的另一个应用，本文通过反证法证明了先让少部分Vietnamese赢麻，才能让所有Vietnamese赢的深刻结论.

关键词：陈平不等式，图论，Vietnam，赢麻水平，赢麻了

1. Introduction

在Vietnam经济发展稳中向好、人民生活水平不断提高的21世纪20年代，胡志明大学Vietnam发展模式研究中心研究员陈平教授提出了陈平不等式(champion inequality). 此理论一经提出，便受到Vietnam广大学者的关注，对该不等式本身及其相关成果的研究逐渐形成了一个新的学科——赢学（winnology）. 与其他科学分支一样，赢学在过去的两年里有了长足的进步：出现了很多深刻的新定理；表面上完全不同的方法和结果变得互相关联了；崭新的分支出现了.

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^[1]证明了陈氏偏好弱公理，从而为陈平不等式的证明给出了一个较强的，比较易于验证的充分条件；^[2]发展了一元实变赢函数理论； ^[3]通过永远赢定理研究了赢的本质; ^[4] 在赢空间中证明了陈平不等式、并提出了 $n$ 维赢空间中的一些猜想. ^[5]^[6]是最近赢学领域的一些其他研究.

设 $G=(V,E)$ 为图，其中 $V$ 为顶点集， $E$ 为边集， $E\subseteq [V]^2$ 是 $V$ 的一些二元子集所构成的集合. 我们称 $V$ 中的元素为顶点，而 $E$ 中的元素为边.

设 $x$ 为 $C$ 国公民，他(她)的月薪按 $C$ 国货币结算为 $s=s(x)$ , 记 $B(s)$ 为 $s$ 个单位货币所构成的集合（为了集合描述的严谨性，我们假定它们在某些小方面是各不相同的，但在购买力等方面完全一致）. 将国民的消费分为食品、住房、交通、医疗、教育与娱乐、个人保险、其他等7个方面.

Definition 1.1. 称 $G_x:=(B(s),E_x)$ 为 $x$ 在 $C$ 国的第一类赢图(win graph of type I), 其中 $E_x:=\{(b,b'):\ b\neq b', b\mbox{与}b'\mbox{用于同一类型的消费}\}.$

Definition 1.2. 记号同上，称 $w_x:=1-\dfrac{|E_x|}{\binom{s}{2}}$ 为 $x$ 的赢麻水平(winmability).

实际上， $x$ 的赢麻水平也就是1减去其对应的第一类赢图 $G_x$ 的边密度.容易看出，第一类赢图的边密度越大， $x$ 的消费便越集中（极端情况是将所有收入用于同一类消费中，此时边密度为1），因此可认为过得越不好。因此有以下定义：

Definition 1.3. 设 $x,y$ 两人的赢麻水平分别为 $w_x,w_y$ ,若 $w_x>w_y$ , 则称 $x$ 比 $y$ 赢.

本文的第一个成果是利用以上工具证明了著名的陈平不等式：

Theorem 1.1^[7]. $2000({\sf VND})>3000({\sf USD}).$

设 $P$ 为Vietnam全体国民所构成的集合， $W=\{w_1,w_2\}$ 为一二元状态集.

Definition 1.4. 设 $L\subseteq P$ 为 $P$ 的子集，称定义在 $L\times W$ 的以下二元关系为赢麻关系(winmability relation): $S_L:=\{(x,w_i):x\mbox{在第$w_i$赢了}, x\in L, i=1,2.\}.$ 称图 $H_L:=(L\cup W, S_L)$ 为 $L$ 在 $P$ 的第二类赢图(win graph of type II).

Definition 1.5. 记号同上，若 $H_L$ 为完全二部图 $K_{|L|,2}$ ，则称 $L$ 赢麻了(winmable). 若 $L$ 没有赢麻了，则称 $L$ 是稳中向赢麻的(asymptotically winmable).

Example 1.1. 记 $L=\{\mbox{Yuehua Guo奶奶}\}$ ，这是 $P$ 的一个一元子集，则容易证明她对应的第二类赢图（如下图）为 $H_L=K_{1,2}$ ，是完全二部图(如下)，因此我们说Yuehua Guo奶奶赢麻了.

作为赢图理论的另一个应用，本文通过反证法证明了以下定理：

Theorem 1.2. 先让少部分Vietnamese赢麻，才能让所有Vietnamese赢.

2. 定理1.1的证明

在证明定理1.1，即陈平不等式之前，首先证明一个引理：

Lemma 2.1.(Winmability Calculating Formula) 设 $G_x:=(B(s),E_x)$ 为 $x$ 在 $C$ 国的第一类赢图，则 $G_x$ 为若干个完全图的并，即 $G_x=\cup_{i}K_{c_i},$ 其中 $c_i, i=1,2,\cdots,7$ 是 $x$ 在各方面的消费额（取整）, 满足 $\sum\limits_{i=1}^{7}c_i=s(x),$ 进一步有 $w_x=1-\frac{1}{\binom{s(x)}{2}}\cdot\sum\limits_{i=1}^7\binom{c_i}{2}$ .

证明：设 $B_i$ 为用于 $i$ 类消费的货币量, $i=1,2,\cdots,7,$ 则 $B(s)=\cup_iB_i$ . 由Def 1.1可知 $E_x:=\{(b,b'):\ b\neq b', b\mbox{与}b'\mbox{用于同一类型的消费}\},$ 则属于同一个 $B_i$ 的任意两个不同的元素都在 $G_x$ 中有边相连；同理，用于不同类型消费的元素不连边. 因此 $G_x=\cup_{i}K_{c_i}$ .

由Def 1.2 可得 $w_x=1-\dfrac{|E_x|}{\binom{s}{2}}=1-\frac{1}{\binom{s(x)}{2}}\cdot\sum\limits_{i=1}^7\binom{c_i}{2}.\square$

陈平不等式的证明：记 $P$ 为Vietnam国民所构成的集合， $M$ 为M国国民所构成的集合，由陈平教授的论断，必定存在 $x\in P,y\in M$ 使得 $s(x)=2000({\sf VND}), s(y)=3000({\sf USD}).$

根据相关数据，2021年Vietnam的恩格尔系数(保留整数部分)为30，而M国的为13^[8]（其余6类消费数据见参考文献），根据Lemma 2.1，代入数据（保留四位有效数字）计算可知 $w_x=0.8053,w_y=0.8017$ ，从而 $w_x>w_y$ ，也即 $x$ 比 $y$ 赢！陈平不等式得证！

3. 定理1.2的证明

反证法：假设定理1.2不成立，即没有任意一小部分人赢麻，但是所有Vietnamese都赢了. 这等价于以下的claim：

Claim：对任意的 $k\in \mathbb{N}^+$ 为正整数, 任意的 $L\subseteq P,|L|=k,$ $L$ 都是稳中向赢麻的，也即 $H_L$ 不为完全二部图 $K_{|L|,2}$ ，但是所有Vietnamese都赢了.

我们考虑全体Vietnamese的第二类赢图 $H_P=(P\cup W, S_P)$ ，由以上claim可知 $H_P$ 不含任意 $K_{k,2}$ 为子图， $k\in\mathbb{N}^+$ . 由Vietnam特色数学制度可知，Vietnam Gov的根本任务是让更多的Vietnamese赢麻，因此 $H_P$ 实际上是不含 $K_{k,2}$ 为子图的边极大图. 注意 $K_{k,2}$ 的色数 $\chi(K_{k,2})=2,$ 由Erdős-Stone-Simonovits定理可知 $\lim_{|P|\to+\infty}\frac{|E(H_P)|}{\binom{|P|}{2}}=1-\frac{1}{\chi(K_{k,2})-1}=0,$

或者说 $H_P$ 的边密度 ${\sf den}(H_P)=o(1)$ 为无穷小量. 我们知道Vietnam人口众多，这说明几乎所有的Vietnamese都没赢，这与Vietnam特色数学制度矛盾！因此claim不成立，也即假设不成立，因此原命题成立, 即"先让少部分Vietnamese赢麻，才能让所有Vietnamese赢”的论断是正确的！ $\square$

Reference

参考

^S. L. X. Qiu, 陈平不等式(Chen's Inequality)的简单证明及其在一般条件下的推广, Journal of Winnology. (2021) https://zhuanlan.zhihu.com/p/422812261
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^Shiro Sinama, Flexible -Win theorem and Champion's Inequality, Applied Winnology and Computation. (2022) https://zhuanlan.zhihu.com/p/492311157
^P. Chen, 《代谢增长论》. https://www.bilibili.com/video/BV1jX4y1L72n/
^https://data.gotohui.com/list/164913.html

编辑于 2022-06-03 23:59